为什(shén)么负(fù)负得正(zhèng)怎么推理，乘法(fǎ)为什么负负得正(zhèng)是根(gēn)据相反数的定义，如果一个(gè)数与a的和为0，那么这个数就叫做a的相反数，记(jì)作(zuò)-a的。

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为什么负负得(dé)正怎(zěn)么推(tuī)理，乘法(fǎ)为什么(me)负负得正

　　即(jí)-a+a=0。

　　对任何(hé)实数(shù)a，定(dìng)义(yì)加(jiā)法0+a=a，乘法1*a=a。

　　实数的加法和乘法(fǎ)满足交换律、结(jié)合律以及分配律(lǜ)，等式还满足等量加(jiā)等量和相(xiāng)等，等(děng)量减(jiǎn)等量差相(xiāng)等的规律。

　　两个(gè)正数(shù)的积还(hái)是正数。

　　1、美国数(shù)学史bai家du和(hé)数学教育(yù)家M·克莱因通zhi过(guò)负债模型解决了(le)“两负(fù)数相(xiāng)乘得正”的问题(tí)：

　　一人每(měi)天欠债5元，给定日(rì)期(qī)（0元）3天后(hòu)欠债(zhài)15元(yuán)。

　　如果将(jiāng)5元的宅记作(zuò)-5，那么“每天(tiān)欠债5元、欠(qiàn)债3天”可(kě)以用数学(xué)来表达：3×（-5）=-15。

　　同样(yàng)一(yī)人每天(tiān)欠债(zhài)5元(yuán)，那么给定日期（0元(yuán)）3天前，他的财产比给定日期(qī)的财产多(duō)15元。

　　如果我们用-3表示3天(tiān)前，用-5表示每天欠债，那么3天前他的经济情况课表示为（-3）×（-5）=15。

　　2、相反数模(mó)型

　　5×3=5+5+5=15，（-5）×3=（-5）+（-5）+（-5）=-15。

　　所以，把一个(gè)因数(shù)换成他的(de)相反数(shù)，所得的积(jī)就是(shì)原来(lái)的积的(de)相反数，故（-5）×（-3）=15。

　　3、苏联(lián)著名(míng)数(shù)学家盖尔范德(dé)（I.Gelfand,1913~2009）则作(zuò)了另一种解释：

　　3×5=15：得(dé)到5美元3次，即得到15美元。

　　3×(－5)=－15：付5美元罚金3次(cì)，即付(fù)罚金(jīn)15美元。

　　(－3)×5=－15：没有得到5美元(yuán)3次，即(jí)没有得到15美元。

　　(－3)×(－5)=+15：未付5美(měi)元罚金3次，即(jí)得到(dào)15美元。

　　13世纪(jì)末由数学家朱士(shì)杰给出(chū)，在《算(suàn)学启蒙》（1299）中，朱士杰提出(chū)：“明乘除法,同名相乘得正,异(yì)名相(xiāng)乘得负”。

在数学乘(chéng)法(fǎ)中为什么负(fù)负(fù)得(dé)正(zhèng)

　　在数学乘法中(zhōng)负负得正的原(yuán)因解(jiě)释有：

　　1、美国(guó)数学史家和(hé)数(shù)学(xué)教育家(jiā)M·克莱因通过负债模型(xíng)解决了“两负数相乘得(dé)正”的(de)问(wèn)题：

　　一(yī)人每(měi)天(tiān)欠债5元，给(gěi)定(dìng)日期(qī)（0元(yuán)）3天(tiān)后欠债15元(yuán)。

　　如(rú)迟吵(chǎo)搭果(guǒ)将(jiāng)5元的宅记作(zuò)-5，那么“每天欠债5元、欠债3天”可以用数学来表(biǎo)达(dá)：3×（-5）=-15。

　　同样一(yī)人每(měi)天欠债5元，那么(me)给定日期（0元）3天前，他的财产比给(gěi)定日期的财产多15元。

　　如果我们用-3表示3天前(qián)，用-5表(biǎo)示每(měi)天欠债，那么3天前他(tā)的经济(jì)情况课表(biǎo)示为（-3）×（-5）=15。

　　2、相反数模(mó)型(xíng)

　　5×3=5+5+5=15，（-5）×3=（-5）+（-5）+（-5）=-15，

　　所以，把(bǎ)一(yī)个(gè)因数换(huàn)成他的相(xiāng)反(fǎn)数，所得的积就是原来的积(jī)的相反数，故（-5）×（-3）=15。

　　3、苏码拿联(lián)著名数学家盖尔范德(dé)（I.Gelfand, 1913~2009）则作了另一种解释：

　　3×5=15：得到5美元3次，即得到15美元；

　　3×(－5)=－15：付5美元罚金(jīn)3次，即付罚金15美元；

　　(－3)×5=－15：没有得(dé)到5美(měi)元3次，即没有(yǒu)得到15美(měi)元；

　　(－3)×(－5)=+15：未付5美元罚金3次，即得(dé)到15美元。

　　上述内(nèi)容(róng)参(cān)考《数(shù)学阅读精(jīng)粹（第(dì)一(yī)册）》，江(jiāng)苏凤(fèng)凰教育出版社出版，2016年6月。

　　原载于《数学文化透视》，上(shàng)海科学技术出(chū)版社出(chū)版。

　　扩展资(zī)料：

　　负数概(gài)念最早(zǎo)出现在中国，在碰衡(héng)《九(jiǔ)章算术》中方程章(zhāng)给出正负数(shù)的加减运算法则，而负负得(dé)正直到13世纪末才由数(shù)学家朱(zhū)士杰给出。

　　在《算学启蒙》（1299）中，朱士(shì)杰提出：“明乘(chéng)除法，同(tóng)名相乘得正，异名相乘得负”。

　　公元7世纪(jì)，印度数学家婆罗笈多(duō)（brahmayup-ta）已有明(míng)确的正(zhèng)负(fù)数(shù)概念，及其(qí)四(sì)则运算法则：“正负相乘得(dé)负，两负数相(xiāng)乘得(dé)正，两正(zhèng)数(shù)得正。

　　”

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